Zawartość
- etapy
- Na początek
- Metoda 1 Postępuj metodą prób i błędów
- Metoda 2 Postępuj przez rozkład
- Metoda 3 „Potrójna gra”
- Metoda 4 Różnica dwóch kwadratów
- Metoda 5 Wykorzystanie wzoru kwadratowego
- Metoda 6 Korzystanie z kalkulatora
Wielomian składa się ze zmiennej (x) podniesionej do pewnej mocy zwanej stopniem wielomianu i kilku innych składników niższych stopni i / lub kilku innych stałych. Faktoryzacja wielomianu drugiego stopnia (zwanego również „równaniem kwadratowym”) oznacza zmniejszenie początkowej ekspresji do iloczynu mniejszych stopni, które można następnie pomnożyć jeden za drugim. Ta wiedza jest częścią kursu w szkole średniej i nie tylko, więc ten artykuł może być trudny do zrozumienia, jeśli nie masz jeszcze wymaganego poziomu matematyki.
etapy
Na początek
-
Napisz swoje wyrażenie. Standardowa postać równania drugiego stopnia to:ax + bx + c = 0
Zacznij od ułożenia warunków twojego równania zgodnie z porządkiem mocy, od największej do najmniejszej, jak w standardowej formie. Weźmy na przykład:6 + 6x + 13x = 0
Zmienimy to wyrażenie, aby ułatwić pracę, po prostu przesuwając terminy:6x + 13x + 6 = 0. -
Znajdź formularz faktoryzowany za pomocą jednej z metod opisanych poniżej. Rozkład na czynniki daje dwa krótsze wyrażenia, które dają początkowy wielomian, jeśli pomnożymy je jeden po drugim:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
W tym przykładzie (2x +3) i (3x + 2) to czynniki początkowego wyrażenia, 6x + 13x + 6. -
Sprawdź swoją pracę! Pomnóż zidentyfikowane czynniki. Następnie połącz podobne warunki, a skończysz. Zacznij od:(2x + 3) (3x + 2)
Zacznijmy testować to wyrażenie, mnożąc warunki dwóch wyrażeń, aby uzyskać:6x + 4x + 9x + 6
Stamtąd możemy dodać 4x i 9x, ponieważ są to warunki tego samego stopnia. Wiemy zatem, że nasze czynniki są prawidłowe, ponieważ dobrze opieramy się na wyrażeniu rezygnacji:6x + 13x + 6.
Metoda 1 Postępuj metodą prób i błędów
Jeśli masz do czynienia z dość prostym wielomianem, powinieneś być w stanie znaleźć jego rozkład jako iloczyn czynnikowy na pierwszy rzut oka. Na przykład wielu matematyków widzi to wyrażenie 4x + 4x + 1 podaje czynniki (2x + 1) i (2x + 1) według przyzwyczajenia i doświadczenia (oczywiście nie jest to takie proste w przypadku złożonych wielomianów). W tym przykładzie weźmy mniej powszechne wyrażenie:
.
-
Zrób listę współczynników współczynnika ma i c. Korzystanie z wyrażenia formularza ax + bx + c = 0, określić współczynniki ma i c i wymień odpowiednie czynniki. Dla: 3x + 2x - 8 daje to:a = 3 i ma tylko jedną parę czynników: 1 * 3 c = -8 i cztery pary czynników: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 i -1 * 8 .. -
Napisz na kawałku papieru dwie pary nawiasów, w których będzie miejsce do pisania. Wprowadzisz stałe dla każdego wyrażenia w dostępnym miejscu:(x) (x). -
Przed x napisz parę możliwych współczynników dla współczynnika ma. Dla współczynnika ma w naszym przykładzie 3x istnieje tylko jedna możliwość:(3x) (1x). -
Następnie wypełnij dwa pozostałe puste miejsca parą współczynników dla współczynnika c. Weźmy na przykład 8 i 1. Zapisz je:(3x8) (X1). -
Zdecyduj teraz znak (więcej lub mniej), aby umieścić między x a liczbą, którą umieściłeś po nim. Zgodnie ze znakiem pierwotnego wyrażenia można znaleźć, jakie powinny być znaki stałych. wezwanie h i k stałe naszych czynników:Jeśli ax + bx + c to (x + h) (x + k) Jeśli ax - bx - c lub ax + bx - c to (x - h) (x + k) Jeśli ax - bx + c to (x - h) (x - k)
W naszym przykładzie, 3x + 2x - 8, znaki należy umieścić w następujący sposób: (x - h) (x + k), co daje nam następujące dwa czynniki:(3x + 8) i (x - 1). -
Sprawdź swoją faktoryzowaną formę, przebudowując ją. Pierwszym szybkim testem jest sprawdzenie, czy średni okres ma właściwą wartość. Jeśli x nie jest dobry, być może wybrano niewłaściwą parę współczynników dla współczynnika c, Sprawdźmy nasze wyniki:(3x + 8) (x - 1)
Dzięki mnożeniu otrzymujemy:3x - 3x + 8x - 8
Dodając podobne terminy (-3x) i (8x) w celu uproszczenia tego wyrażenia, otrzymujemy:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Wiemy już, że prawdopodobnie zidentyfikowaliśmy niewłaściwe czynniki:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
W razie potrzeby wymień wybrane czynniki. W naszym przykładzie spróbujmy 2 i 4 zamiast 1 i 8:(3x + 2) (x - 4)
Teraz nasz współczynnik c wynosi -8, ale mnożenia (3x * -4) i (2 * x) dają -12x i 2x, które dodatkowo nie zawsze dają wartość początkową b, to jest + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
W razie potrzeby odwróć kolejność. W naszym przykładzie odwracamy miejsce 2 i 4:(3x + 4) (x - 2)
Teraz współczynnik c jest zawsze dobre, ale współczynniki wyrażeń w x są warte tego czasu -6x i 4x. Po dodaniu daje to:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Jesteśmy bardzo blisko początkowej wartości 2x, którą staramy się znaleźć, ale znak nie jest dobry. -
W razie potrzeby sprawdź znaki ponownie. Zachowamy teraz tę samą kolejność, ale wymienimy znaki:(3x - 4) (x + 2)
Współczynnik wcześniej c jest zawsze dobre, a wyrażenia w x są teraz warte (6x) i (-4x). Ponieważ:6x - 4x = 2x 2x = 2x Więc otrzymujemy 2x, które pierwotnie mieliśmy. Więc prawdopodobnie znaleźliśmy odpowiednie czynniki.
Metoda 2 Postępuj przez rozkład
Ta metoda pozwoli nam zidentyfikować wszystkie możliwe czynniki w celu uzyskania współczynników ma i c i użyj ich, aby określić, które czynniki są właściwe. Jeśli liczby są bardzo duże lub inne metody prób i błędów wydają się zbyt długie, możesz użyć tej metody. Weź następujący przykład:
.
-
Pomnóż współczynnik ma przez współczynnik c. W naszym przykładzie ma jest równy 6 i c jest również równe 6.6 * 6 = 36. -
Znajdź współczynnik b poprzez faktoring, a następnie testowanie uzyskanych czynników. Szukamy dwóch liczb, które są czynnikami produktu ma * c które zidentyfikowaliśmy i którego suma jest warta wartości współczynnika „b” (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Wprowadź dwie liczby, które właśnie dostałeś do swojego równania; umieść je przed x, aby ich suma była równa współczynnikowi b. Weźmy litery k i h w celu reprezentowania dwóch uzyskanych liczb, 4 i 9:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Pogrupuj wielomian przez grupowanie. Uporządkuj równanie, aby znaleźć największy wspólny czynnik z pierwszych dwóch członów i największy wspólny czynnik z dwóch ostatnich członów. Powinieneś otrzymać sumę dwóch identycznych faktoryzowanych form. Zsumuj oba współczynniki razem i umieść je w nawiasach przed swoją faktoryzowaną formą; otrzymujesz dwa czynniki:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Metoda 3 „Potrójna gra”
Ta metoda jest bardzo podobna do poprzedniej. Polega to na zbadaniu możliwych czynników dla iloczynu współczynników ma i c, a następnie użyj ich, aby znaleźć wartość b, Weźmy na przykład następujące równanie:
-
Pomnóż współczynnik ma przez współczynnik c. Podobnie jak w przypadku metody dekompozycji pomoże nam to zidentyfikować potencjalnych kandydatów na współczynnik b, W naszym przykładzie ma jest równe 8 i c jest warte 2.8 * 2 = 16. -
Znajdź dwie liczby, których iloczyn jest liczbą właśnie znalezioną wcześniej (16) i której suma daje współczynnik „b”. Ten krok jest identyczny jak w metodzie dekompozycji - to znaczy testujemy i odrzucamy kandydatów na stałe. Iloczyn współczynników ma i c jest równy 16, a współczynnik c jest równe 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Weź te dwie liczby i zastąp je formułą „triple play”. Weź dwa numery z poprzedniego kroku - zadzwońmy do nich h i k - i wprowadź je w następującym wyrażeniu:((ax + h) (ax + k)) / a
Następnie otrzymujemy:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Sprawdź, które z nawiasowych wyrażeń w liczniku jest podzielne przez współczynnik ma. W tym przykładzie sprawdzamy, czy (8x + 8) lub (8x + 2) można podzielić przez 8. (8x + 8) można podzielić przez 8, a następnie podzielimy to wyrażenie przez ma i pozostaw ten drugi wyraz takim, jaki jest.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Wyrażenie, które tu zachowujemy, to takie, które pozostaje po podzieleniu przez współczynnik ma : (x + 1). -
Znajdź - jeśli istnieje - większy wspólny czynnik w obu nawiasach. W naszym przykładzie drugie wyrażenie ma większy wspólny współczynnik 2, ponieważ 8x + 2 = 2 (4x + 1). Połącz tę odpowiedź z wyrażeniem znalezionym w poprzednim kroku. W ten sposób znalazłeś dwa czynniki swojego wielomianu.2 (x + 1) (4x + 1).
Metoda 4 Różnica dwóch kwadratów
Niektóre współczynniki wielomianów można określić jako „kwadraty”, to znaczy jako iloczyn mnożenia dwóch liczb. Identyfikując te kwadraty, można szybciej uwzględniać niektóre wielomiany. Weźmy na przykład równanie:
-
Zacznij od faktorowania wszystkiego na większy wspólny czynnik, jeśli to możliwe. W naszym przykładzie widzimy 27 i 12, z których oba są podzielne przez 3, więc możemy „rozdzielić” wyrażenie początkowe w następujący sposób:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Sprawdź, czy współczynniki twojego równania są liczbami do kwadratu. Aby skorzystać z tej metody, powinieneś być w stanie znaleźć pierwiastki kwadratowe dla swoich współczynników (zauważ, że nie bierzemy pod uwagę znaków ujemnych - ponieważ mamy do czynienia z kwadratami, mogą być one iloczynem dwóch liczb dodatnich lub ujemna)9x = 3x * 3x i 4 = 2 * 2. -
Wykorzystując znalezione pierwiastki kwadratowe, napisz swoje czynniki. Weź wartości ma i c wcześniej znalezione - ma = 9 i c = 4 - przed znalezieniem ich pierwiastka kwadratowego - √ma = 3 i √c = 2. Będą to współczynniki naszych wyrażeń faktoryzowanych:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metoda 5 Wykorzystanie wzoru kwadratowego
Jeśli wszystkie powyższe metody zawiodły i nie możesz znaleźć właściwych współczynników dla swojego równania, zastosuj wzór kwadratowy. Weź następujący przykład:
-
Weź wartości współczynników „a”, „b” i „c” i zastąp je następującym wzorem kwadratowym:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Otrzymujemy wyrażenie:x = -4 ± √ (4–4 • 1 • 1) / 2. -
Rozwiąż równanie, aby znaleźć x. Jak widać powyżej, powinieneś otrzymać dwie wartości x:
x = -2 + √ (3) lub x = -2 - √ (3). -
Użyj wartości x, aby znaleźć czynniki. Wprowadź wartości x uzyskane wcześniej jako stałe dwóch wyrażeń wielomianowych. To będą twoje czynniki. wezwanie h i k wartości x i napisz dwie formy faktoryzowane:(x - h) (x - k)
W takim przypadku końcowy wynik to:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Metoda 6 Korzystanie z kalkulatora
Jeśli możesz korzystać z kalkulatora graficznego, pamiętaj, że znacznie ułatwi to zadanie, szczególnie podczas egzaminów. Te instrukcje dotyczą tylko kalkulatorów graficznych marki Texas Instrument. Weźmy na przykład następujące równanie:
-
Wpisz swoje równanie w kalkulatorze. Będziesz musiał użyć „równania resolvera”, czyli ekranu. -
Wykonaj graficzną reprezentację swojego równania na kalkulatorze. Po wprowadzeniu równania naciśnij - powinieneś zobaczyć graficzną reprezentację krzywej (a dokładniej, otrzymasz „łuk”, ponieważ pracujesz na wielomianach). -
Znajdź punkty przecięcia łuku z osią x (x). Ponieważ równania wielomianowe są tradycyjnie zapisywane w postaci: ax + bx + c = 0, są to dwie wartości x, dla których wyrażenie jest równe zero:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Jeśli nie możesz odczytać wartości, w których krzywa przecina oś x, naciśnij wtedy. Naciśnij lub wybierz „zero”. Przesuń kursor na lewo od jednego ze skrzyżowań i naciśnij. Następnie przesuń kursor na prawo od tego skrzyżowania i naciśnij ponownie. Następnie przesuń kursor jak najbliżej skrzyżowania i naciśnij ponownie. Kalkulator znajdzie wartość x. Zrób to samo dla drugiego skrzyżowania.
-
Na koniec wprowadź wartości x uzyskane w poprzednim kroku do wyrażenia dwuskładnikowego. Jeśli zadzwonimy h i k nasze dwie wartości x, użyjemy następującego wyrażenia:(x - h) (x - k) = 0
I tak otrzymamy dwa następujące czynniki:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Ołówek
- Papier
- Równanie drugiego stopnia (lub równanie kwadratowe)
- Kalkulator graficzny (opcjonalnie)